mustafaturkoz.com

Bilim dünyasında küçük bir gezinti.

25 Eylül 2015 Cuma

Çok Bilinmeyenli Denklemlerin Çözümü

Matematik
Orta okul yıllarım da her öğrenci gibi ben de matematik denklemleri ile istemesem de tanışmak zorunda kaldım :) Bu denklemler genelde 2. dereceden denklemler ve 2 bilinmeyenli idi. Benim bahsedeceğim ise 1. dereceden denklemlerdir.

Şimdi bu basit denklemlerle bir tane örnek yapıp sizlerin hafızasından silinen konuları tekrar hatırlatmak ve yazacağım konuyu anlamanızı sağlamak istiyorum.

Tam sayılar kümesinde x+y = 5 ise bu denklemdeki x ve y değerleri sonsuz tanedir. Çünkü, x, y ikilisi 2'ye 3, 1'e 4 veya 100'e -95 ikilileri olabilir. Bir denklem daha yazarsak sonsuz çözümün oluşmasını kısıtlayabiliriz. Yani denklem sayısı bilinmeyenlerin sayısından az olursa olmaz. Siz yazıyı bir okuyun anlamadığınız yeri bana sorarsınız :)

Sorumuz şöyle olsun. x+y = 5 ve 6x+y = 20 'dir. Şimdi, burdaki x ve y değerlerini bulabilmemiz için iki denklemi ortak çözmemiz gerekir. İki denklem ve iki bilinmeyen olduğuna göre artık x ve y'nin tek bir değeri olmalı, ilk örnekteki gibi sonsuz değerler çıkmayacaktır.

ÇÖZÜM :
2 bilinmeyenli denklem

Peki bu denklemler 3 ya da daha çok bilinmeyenli olsaydı nasıl çözebilirdik?

Bunun için farklı farklı yöntemler bulunmuştur. Benim bildiğim iki yöntemi sizlerle paylaşacağım.

1. Yöntem : Eşelon( Echolon) Matris Formu veya Elemanter Satır İşlemleri

Bu yöntem de matrislere ihtiyacımız olacak ve matrise bilinmeyen değerlerin katsayılarını yerleştireceğiz. Sonra satır işlemlerimizi yapacağız. Şimdi adım adım denklem sistemimizi çözelim.

ÖRNEK :
3 bilinmeyenli denklem
Amacımız, yerleştirdiğimiz x, y, z katsayılı matrisi birim matrise çevirmeye çalışmak olacaktır.

NOT : Birim matrise çevirme işlemin de her türlü satır işlemlerini yapabilirsiniz. İster 2. satırla 1. satırı toplayın, isterseniz de 2. satırla 3. satırı toplayın ya da satırları birbirleriyle yer değiştirin. Birim matrisi bulduğunuz müddetçe sonuç değişmeyecektir.

Echolon Matris

1. Adım

Birinci, ikinci ve üçüncü denklemlerdeki katsayıları matrise yerleştirdik.

2. Adım


(1 numaralı matriste yapılan işlemler!!!)
1. satırı eksi ile çarpıp 2. satır ve 3. satır ile topladık.

3. Adım

(2 numaralı matriste yapılan işlemler!!!)
2. satırı eksi ile çarpıp 1. satıra ekledik. Sonra 2. satırı (-2) ile çarpıp 3. satıra ekledik ve 3. satırı (-1) ile çarptık.

4. Adım

(3 numaralı matriste yapılan işlemler!!!)
3. satırı (-2) ile çarpıp 2. satıra ekledik. Sonra 3. satırı 1. satıra ekledik.


Bulduğumuz x,y,z değerlerini verilen 3 denklemden birinde yerine koyarak deneyebilirsiniz.

2. Yöntem : Cramer Kuralı

   Cramer kuralı 1. yönteme göre daha basit bir yöntemdir. Verilen katsayılar matrisimizin determinantına detA deriz. Ayrıca detX, detY ve detZ'yi hesaplarız. Mesela detX'i hesaplarken 1. sütun yerine çözüm elemanları yerleştirilip determinant hesaplanır ve x = detX/detA olur. detY içinde 2. sütun yerine çözüm elemanları yerleştirilip determinat hesaplanır. Kaç bilinmeyen varsa böyle uzar gider.

3 bilinmeyenli denklem
   Şimdi aynı örneğimizi birde bu yöntemle çözelim. Resimlerden ne yapmaya çalıştığımı anlayabileceğinizi düşünüyorum :) Yazılı anlatım zor oldu resimle daha açıklayıcı olur umarım.

Cramer kuralı

   Zamanında Mimar Sinan'ın Selimiye Camii'nin kubbesini o genişliğe oturtmak için 13 bilinmeyenli bir denklemi matematiğin bilinen 4 ana işleminden farklı beşinci bir işlem yaratarak çözdüğü söylenir. Bu bir söylenti olabilir, fakat ben yinede Mimar Sinan'a güveniyorum, bir doğruluk payı vardır :)

   Bu yazımdan da bu kadar. Biliyorum okurken biraz kafanız karıştı :)

2 Bilinmeyenli Denklemin- Elemanter Satır İşlemleriyle Çözümü

Echolon matris formu


15 yorum:

  1. adım sırası yanlış ama onu belirtmek isterim kafa karışabilir 1. adım aslında 2. adım 2.adım aslında 3. adım 3. adım aslında 4. adımdır

    YanıtlaSil
    Yanıtlar
    1. Adımların tanımını bir önceki adımın işlemlerinden oluşan sonuca göre belirtmek istemiştim ama madem anlaşılması zor adımlara belirtiyim ne yaptığımı. Uyarınız için teşekkür ederim :)

      Sil
  2. açıkçası yeni ögrendim bu paylaşımlar yararlı (demek matrisin bu gibi işlevleride var)

    YanıtlaSil
  3. açıkçası yeni ögrendim bu paylaşımlar yararlı (demek matrisin bu gibi işlevleride var)

    YanıtlaSil
    Yanıtlar
    1. İlk öğrendiğimde ben de şaşırmıştım matrislerin bu işe yaradığını :)

      Sil
  4. 9. sınıfım bunu okudum ve birşey anlamadım sorun bendemi yoksa bu benim konum değilmi

    YanıtlaSil
    Yanıtlar
    1. Merhaba, 9. sınıf için bu anlatım ağır olabilir ve üniversite de işlenen bir konu bu. Sizin için daha kolay bir çözüm vardır muhakkak :) Matrisin nerelerde kullanıldığını göstermek istemiştim ben, sizin matrisle çözmeniz gerekmez illaki.

      Sil
  5. Tembel bir muhendislik ogrwncisiydim isleri rayina oturtmaya karar verip temelden calismaya basladim tessekkur ederim cok faydali oldu

    YanıtlaSil
    Yanıtlar
    1. Bende tembel öğrenciyim, fakat bazı konular ilgimi çekiyor ve faydalı bulduklarımı paylaşıyorum. Size yararı olduğuna sevindim, rica ederim :)

      Sil
  6. Vallahi matematik kısmını almıyım :) Bilen bu işi seven tüm arkadaşları tebrik ederim. Bana göre değil .....

    YanıtlaSil
    Yanıtlar
    1. :) Bende tebrik ederim matematikçileri, her şeyin temeli ve zor bir alan.

      Sil
  7. Bu yöntem bütün denklemlere uygulanabilir mi?

    YanıtlaSil
    Yanıtlar
    1. Birinci dereceden(doğrusal) denklemlerin hepsine uygulanabilir, problemin zorluğuna göre çözüm performansı da değişebilir.

      Sil
  8. Det A=0 olduğunda, formüle göre değerler tanımsız diyebiliriz.
    Oluşturduğum bu örneğe bakarak inceleyebilirsiniz..
    2x+y+z = 2
    5x+2y+2z = 7
    x+3y+3z = 5
    Bu denklemlerin çözümünde detA = 0 çıkar ve bundan dolayı 'x' değeri tanımsız diyebiliriz. Zaten denklemler de y ve z'leri götürüp x'i yalnız bıraktığımızda x'in tanımsız olduğunu göreceğiz.
    Ama şöyle bir örnekte ise;
    x+y+z=3
    x+3y+3z=7
    x+4y+4z=9
    Bu örnekte de detA = 0 çıkar. Fakat x=1, y=1 ve z=1 değerleri denklemleri sağlar. Yani değerler tanımsız olmaz. Bu örnekte ki durumlar istisna olarak mı alınıyor orasına bir şey diyemeyeceğim maalesef.

    YanıtlaSil

Paylaşımların daha Yararlı Olması için Değerli Yorumlarınızı Bekliyorum
Sevgi ve esenle kalın...

Mustafa Türköz

Blog Arkadaşlarım

Popüler Yayınlar

Bumerang

Bumerang - Yazarkafe