25 Eylül 2015 Cuma

Çok Bilinmeyenli Denklemlerin Çözümü

25 Eylül 2015 Cuma
Matematik
Orta okul yıllarım da her öğrenci gibi ben de matematik denklemleri ile istemesem de tanışmak zorunda kaldım :) Bu denklemler genelde 2. dereceden denklemler ve 2 bilinmeyenli idi. Benim bahsedeceğim ise 1. dereceden denklemlerdir.

Şimdi bu basit denklemlerle bir tane örnek yapıp sizlerin hafızasından silinen konuları tekrar hatırlatmak ve yazacağım konuyu anlamanızı sağlamak istiyorum.

Tam sayılar kümesinde x+y = 5 ise bu denklemdeki x ve y değerleri sonsuz tanedir. Çünkü, x, y ikilisi 2'ye 3, 1'e 4 veya 100'e -95 ikilileri olabilir. Bir denklem daha yazarsak sonsuz çözümün oluşmasını kısıtlayabiliriz. Yani denklem sayısı bilinmeyenlerin sayısından az olursa olmaz. Siz yazıyı bir okuyun anlamadığınız yeri bana sorarsınız :)

Sorumuz şöyle olsun. x+y = 5 ve 6x+y = 20 'dir. Şimdi, burdaki x ve y değerlerini bulabilmemiz için iki denklemi ortak çözmemiz gerekir. İki denklem ve iki bilinmeyen olduğuna göre artık x ve y'nin tek bir değeri olmalı, ilk örnekteki gibi sonsuz değerler çıkmayacaktır.

ÇÖZÜM :
2 bilinmeyenli denklem

Peki bu denklemler 3 ya da daha çok bilinmeyenli olsaydı nasıl çözebilirdik?

Bunun için farklı farklı yöntemler bulunmuştur. Benim bildiğim iki yöntemi sizlerle paylaşacağım.

1. Yöntem : Eşelon( Echolon) Matris Formu veya Elemanter Satır İşlemleri

Bu yöntem de matrislere ihtiyacımız olacak ve matrise bilinmeyen değerlerin katsayılarını yerleştireceğiz. Sonra satır işlemlerimizi yapacağız. Şimdi adım adım denklem sistemimizi çözelim.

ÖRNEK :
3 bilinmeyenli denklem
Amacımız, yerleştirdiğimiz x, y, z katsayılı matrisi birim matrise çevirmeye çalışmak olacaktır.

NOT : Birim matrise çevirme işlemin de her türlü satır işlemlerini yapabilirsiniz. İster 2. satırla 1. satırı toplayın, isterseniz de 2. satırla 3. satırı toplayın ya da satırları birbirleriyle yer değiştirin. Birim matrisi bulduğunuz müddetçe sonuç değişmeyecektir.

Echolon Matris

1. Adım

Birinci, ikinci ve üçüncü denklemlerdeki katsayıları matrise yerleştirdik.

2. Adım


(1 numaralı matriste yapılan işlemler!!!)
1. satırı eksi ile çarpıp 2. satır ve 3. satır ile topladık.

3. Adım

(2 numaralı matriste yapılan işlemler!!!)
2. satırı eksi ile çarpıp 1. satıra ekledik. Sonra 2. satırı (-2) ile çarpıp 3. satıra ekledik ve 3. satırı (-1) ile çarptık.

4. Adım

(3 numaralı matriste yapılan işlemler!!!)
3. satırı (-2) ile çarpıp 2. satıra ekledik. Sonra 3. satırı 1. satıra ekledik.


Bulduğumuz x,y,z değerlerini verilen 3 denklemden birinde yerine koyarak deneyebilirsiniz.

2. Yöntem : Cramer Kuralı

   Cramer kuralı 1. yönteme göre daha basit bir yöntemdir. Verilen katsayılar matrisimizin determinantına detA deriz. Ayrıca detX, detY ve detZ'yi hesaplarız. Mesela detX'i hesaplarken 1. sütun yerine çözüm elemanları yerleştirilip determinant hesaplanır ve x = detX/detA olur. detY içinde 2. sütun yerine çözüm elemanları yerleştirilip determinat hesaplanır. Kaç bilinmeyen varsa böyle uzar gider.

3 bilinmeyenli denklem
   Şimdi aynı örneğimizi birde bu yöntemle çözelim. Resimlerden ne yapmaya çalıştığımı anlayabileceğinizi düşünüyorum :) Yazılı anlatım zor oldu resimle daha açıklayıcı olur umarım.

Cramer kuralı

   Zamanında Mimar Sinan'ın Selimiye Camii'nin kubbesini o genişliğe oturtmak için 13 bilinmeyenli bir denklemi matematiğin bilinen 4 ana işleminden farklı beşinci bir işlem yaratarak çözdüğü söylenir. Bu bir söylenti olabilir, fakat ben yinede Mimar Sinan'a güveniyorum, bir doğruluk payı vardır :)

   Bu yazımdan da bu kadar. Biliyorum okurken biraz kafanız karıştı :)

2 Bilinmeyenli Denklemin- Elemanter Satır İşlemleriyle Çözümü

Echolon matris formu